A desigualdade das médias como ferramenta de resolução de problemas

Abstract

O objetivo deste trabalho é apresentar as médias aritmética, geométrica, harmônica e quadrática, as desigualdades das médias e como elas podem ser aplicadas na resolução de problemas. Uma outra relação que será apresentada é a denominada Média aritmética-geométrica. Durante o curso de Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional-PROFMAT, foi possível perceber como as médias e as desigualdades entre as médias podem auxiliar na resolução de problemas presentes no Ensino Médio e Superior. No que tange ao ensino, apresentamos diversas demonstrações que podem ser aplicadas nos diversos níveis de ensino conforme os documentos oficiais vigentes no Brasil. Apresentaremos diversos problemas e suas respectivas soluções utilizando as desigualdades das médias. Por fm, mostraremos os resultados de uma atividade realizada no Ensino Médio com intuito de verificar a possibilidade de se trabalhar as médias e as desigualdades como um projeto paralelo. Também apresentaremos uma atividade que pode ser aplicada no Ensino Médio com o objetivo de desenvolver conceitos relacionados a sequências de números reais e a Média aritmética-geométrica.

The goal of this work is to present arithmetic, geometric, harmonic and quadratic averages, as well as the inequalities of the means and how they can be applied in solving problems. During the course of the Professional Master's Degree in Mathematics in National Network-PROFMAT, it was possible to understand how the means and the inequalities among the means can help in the resolution of problems present in High School and Colege. With regard to teaching, we present several demonstrations that can be applied at different levels of education according to the official documents in force in Brazil. We will present several problems and their respective solutions using the inequalities of the means. Another relationship between arithmetic and geometric means is called arithmetic-geometric mean, which will be presented briefly in Chapter 5. Finally, we will show the results of a workshop held in High School in order to verify the possibility of working averages and inequalities as a side project. We will also present a workshop that can be applied in High School with the objective of developing concepts related to sequences of real numbers and arithmetic-geometric mean.