Método de Melnikov generalizado e aplicações

Abstract

Um sistema dinâmico dx = f(x) + g(x, t, ε), x ∈ Rn (1) ____ dt

onde f : Rn → Rn e g : Rn x R x RN → Rn são de classe C2, g é periódica em t, tal que o sistema x˙ = f(x) (2) tem um ponto de equilíbrio do tipo sela e uma órbita homoclínica associada a este ponto, (1) é chamado sistema homoclínico perturbado. O que acontece com o sistema (2) após uma perturbação, ou seja, quando fazemos em (1) ε assumir valores positivos? Nesse trabalho analisamos ferramentas analíticas para começar a responder a esta pergunta, como o método clássico de Melnikov, para sistemas quando n = 2 e g é periódica em t. Usando um tipo especial de funções, provamos que o método de Melnikov fornece um critério para mostrar que para um intervalo de tempo finito [−T, T], com T arbitrariamente grande, o sistema perturbado é igual a um sistema caótico para uma classe mais geral de "funções perturbadoras". Por fim, apresentamos uma generalização deste método clássico para dimensões maiores, o método de Melnikov-Gruendler. Daremos ainda duas aplicações, uma exemplificando que para um intervalo de tempo finito o sistema perturbado é igual a um caótico e o outro relativo ao método de Melnikov-Gruendler.

We define a dynamic system as follows dx = f(x) + g(x, t, ε), x ∈ Rn (1) ____ dt

where f : Rn → Rn e g : Rn x R x RN → Rn Rn are C2, g is periodic in t, such that the system x˙ = f(x) (2) has a hyperbolic saddle point and a homoclinic orbit associated to this point, (1) is called perturbed homoclinic system (PHS). What happens with the system (2) after a disturbance, ie, when we in (1) ε assume positive values? In this work we analyze some methods in order to answer this question. We study the classical method of Melnikov for systems when n = 2 and g is periodic in t, a method to eliminate the requirement that g is periodic in t and also a generalization of the classical method of Melnikov to higher dimensions, the method of Melnikov-Gruendler. For each case we present applications.