A construção da hipersuperfície principal para sistemas elípticos

Abstract

Neste trabalho, estudamos o sistema —-Ap; = %Ápilo) pal pa em (1) 9; = 0 sobre OL, em que Pm a := PY, M>2,NcR” é um domínio limitado com fronteira de classe Cb! n>2, p; € L”(9) são funções positivas qt.p., p> n,i= 1,...,;m e a; são números reais positivos que satisfazem [[.-, a; = 1 e utilizamos uma versão do Teorema de Krein- Rutman não-linear para mostrar que a hipersuperfície principal gerada pelos autovalores associados ao sistema é a imagem inversa de uma função suave. É também estudamos resultados de existência e não existência de solução forte positiva em Wº”(M;R) NNW (NR), p>n para o seguinte sistema de m equações, m > 2, — Au; — Asfi(o, UI, --- Um) em 0), (2) ui = 0 sobre OL, em que Q c R” é um domínio limitado com fronteira de classe Chl à = 1...,m, fo fm: NxR”º CRT SR são funções dadas e A,...,Am > 0. Investigamos o caso em que as funções f;, 1 = 1,...,m satisfazem as seguintes hipóteses: (HT) filx,,..., )E C(RP), Vr E O; (H2) O < f(:,0,...,0) < fltum,...,Uum) < flu... Um) SC 0 < u; < v;, Vj E Lo mb (H3) fil, t1, ne tm) E DO), Vty, ne Em E R,, p>n, (H4) filsur..Um) > piu, em que uma = uu, q; > 0, Vj € (l,..mb, =: a; = 1e p,...,Pm € L”(M) são funções positivas em quase todo ponto, p>n. Definimos o conjunto extremal do sistema (2) e provamos algumas de suas propriedades qualitativas, como por exemplo, continuidade, comportamento assintótico e limitação. Palavras-chave: Sistemas Elípticos. Hipersuperfície Principal. Conjunto Extremal.

In this work, we study the system Ap; = vpilo)lonl o in O, (3) PD; — Õ on o, where Ym1 = PY, m>2, 0 CR” isa bounded domain with C!! boundary, n>2, p; € LS) are positive functions a.e., p > n,1=1,...,m, and a; are positive real numbers that satisfy [[;., 0; = 1 and we use a version of nonlinear Krein-Rutman Theorem to show that the principal hypersurface generated by the eigenvalues associated to system is the reverse image of a smooth function. And we also study existence and nonexistence results of positive strong solution in W”(MR)NW (NR), p>n, to the following system of m equations, m > 2, — Au; — Asfi(o, UI, Um) in 0), (4) uu = 0 on df, where Q c R” is a bounded domain with C!! boundary, à: = L..sm, fr. fm: QxR” CR” SR are given functions and A,,...,Am > 0. We investigate the case where the functions f;, 1 = 1,...,m satisfy the following hypotheses: (HT) filx,,..., )E C(RP), Vr E O; (H2) O < fi(:,0,...,0) < fit, ur... Um) < fi vi,... Um) if O < Us < Us; Vj E (Lo mb (13) fil, ti, e tm) E DO), Nt, e Em E R., p>n, (H4) fit, un, e + Um) > PQ )UG where Um+1 — Ui, Qj > Õ, Vj E tl, . SM, [= 0; =1ep1,...,Pm E LO) are positive functions a.e., p > n. We define the extremal set of the system (4) and prove some of their qualitative properties such as continuity, asymptotic behavior and limitation. Keywords: Elliptic Systems. Principal Hypersurface. Extremal Set.