O papel de sítios periféricos no processo epidêmico SIS

Abstract

No que se refere ao estudo de processos dinâmicos em redes complexas, destaca-se a pesquisa envolvendo modelos epidêmicos, com ênfase para o modelo suscetível-infectado- suscetível (SIS). Muitos artigos científicos tem se ocupado no estudo do papel de sítios altamente conectados e sítios altamente centrais na dinâmica do modelo SIS. Dentre os temas desses estudos, podemos citar os mecanismos de ativação, como a ação coletiva de hubs sobre a epidemia, em redes com distribuição de graus em lei de potência, P (k) ∝ k −γ , com γ > 5 . Outros estudos apontam ainda para o papel dos sítios mais centrais no desencadeamento do estado ativo, como investigado por meio da decomposição k-core em redes com distribuição em lei de potência com γ < 52 . No entanto, há uma desproporcional falta de estudos sistemáticos no esforço de discriminar os impactos de sítios periféricos na dinâmica do modelo SIS. Dentre os efeitos esperados, destacamos a influência sobre a atividade na vizinhança dos hubs e a adição de atalhos, ligando hubs e sítios altamente centrais, além de caminhos ligando diferentes partes da rede. Neste trabalho, investigamos principalmente os efeitos de sítios com índice k S = 1 e k S = 2, definidos através da decomposição k-core. Com este objetivo, usamos diferentes mecanismos de ligação destes sítios a redes sintéticas com distribuição de grau k em lei de potência, P (k) ∝ k −γ , para diferentes valores de γ. Os mecanismos usados foram a ligação preferencial linear, na qual um sítio é escolhido ao acaso e aceito com probabilidade proporcional ao seu grau e a ligação quadrática, na qual um sítio é escolhido ao acaso e aceito com probabilidade proporcional ao quadrado de seu grau. Nós observamos que, quando a dinâmica é ativada pela componente mais densamente conectada, determinada pela decomposição k-core, a adição de sítios periféricos não altera a transição; mesmo no cenário mais extremo (ligação quadrática), em que muitos hubs mais conectados que os originais surgem. Ainda, quando a ativação é feita via ação combinada de hubs, observamos que a regra de ligação linear não muda o ponto de transição. Por outro lado, o modelo de conexão preferencial quadrática produz comportamentos novos e desvios dos comportamentos de escala usuais, observados em redes sem nós periféricos. É importante destacar que analisamos o modelo SIS também em redes reais. Estas evidenciam alta densidade de sítios periféricos (k S = 1 e 2, via decomposição k-core) e observamos que seu padrão de conexão assemelha-se muito mais ao modelo quadrático, mostrando, portanto, a importância do nosso estudo. Palavras-chave: Epidemiologia - Modelos matemáticos. Redes (Matemática). Modelo SIS.

As far as dynamical processes in complex networks started to be investigated, nota- ble attention can be drawn to the research involving epidemic models, in special to the susceptible-infected-susceptible (SIS) model. Many scientific works have studied the role of highly connected and highly central nodes in the dynamics of the model, including systematic studies on the activation of the epidemics. These studies take into account the long-range interaction among hubs in triggering and sustaining the endemic state for networks with power-law degree distribution, P (k) ∝ k −γ with γ > 2 5 . Other kind of activation involves nodes belonging to the innermost core of the network, investigated by means of the k-core decomposition, in triggering the active state in networks with power-law degree distribution with γ < 2 5 . Nonetheless, much less systematic studies are dedicated to investigate the effects of peripheral nodes in the dynamics of the SIS model. Among their influences, we highlight their action in enhancing the lifespan of activity in hubs and their neighborhood, or even in setting shortcuts linking hubs and highly central nodes and connecting different parts of the network. Therefore, we investigate in this work the effects of k S = 1 and k S = 2 nodes, defined by k-core decomposition. With this purpose, we use different kinds of attachment patterns of these nodes to networks with power-law degree distribution. To the proposed connection schemes account the linear preferential attachment, in which a node is randomly chosen and accepted with a pro- bability proportional to its degree, and the quadratic preferential attachment, in which a node is randomly chosen and accepted with a probability proportional to the square of its degree. Results suggest that when activation takes place in the innermost core, addi- tion of peripheral nodes does not alter the transition, even in the most extreme scenario considered, i.e, the quadratic attachment scheme, in which many new hubs are created. Yet, when the activation is triggered by the interplay of hubs, linear preferential attach- ment scheme does not change significantly the transition. On the other hand, quadratic attachment scheme produces new behaviors and deviations from the scale-laws observed in the dynamics on top of the original networks. It is important to stress that we analy- zed the SIS model in real world networks. These manifest high peripheral nodes density (k S = 1 and 2), whose attachment patterns are similar to the quadratic scheme, showing, therefore, the importance of our studies. Keywords: Epidemiology - Mathematical models. Networks (Mathematics). SIS model.