Construção de um modelo de Chern-Simons para gravitação

Abstract

Neste trabalho estudamos a teoria de Chern-Simons para a gravitação em 5 dimensões. Nós usamos como álgebra de Lie a álgebra (a)dS; (de Sitter ou anti-de Sitter) expandida a partir de um semigrupo finito via o produto direto entre (a)dS; e o semigrupo considerado. A motivação de se usar uma álgebra expandida é para se obter uma teoria mais geral, com a possibilidade de se obter outros campos além do campo de gravitação na teoria. Estes outros campos podem ser vistos como uma possível matéria que interage com o campo de gravitação. Basicamente esse trabalho será dividido em três partes. Na primeira, que abrange os capítulos 2 e 3, faremos uma breve introdução às formas diferenciais e à teoria de grupos, dois ferramentários essenciais na compreensão de uma teoria de Chern-Simons para a gravitação. Nesta parte traremos alguns re- sultados recentes sobre expansões de álgebra que são fundamentais para este trabalho. Faremos a expansão mencionada, mostrando que se trata realmente de uma álgebra de Lie, calculando as constantes de estrutura e os tensores invariantes e, em seguida, faremos um comparativo dos nossos resultados com trabalhos similares na literatura. Na segunda parte, que abrange todo capítulo 4, faremos uma introdução sobre teorias de Chern-Simons, mostrando sua importância para a física, bem como abordaremos alguns resultados já conhecidos sobre a gravitação de Chern-Simons em 5) usando como álgebra de Lie (a)dS:; simplesmente. Por fim, na última parte, aplicaremos os resultados do capítulo 4 considerando a álgebra expandida, obtendo a ação de Chern-Simons para tal álgebra. Após isso estudaremos a estrutura dinâmica da teo- ria, fazendo uso do formalismo hamiltoniano de Dirac. Um resultado importante do quarto e último capítulo é a descoberta de uma classe mais geral de difeormorfismos espaciais, chama- dos por nós de difeomorfismos generalizados, que abrange os difeomorfismos espaciais usuais. Estes novos difeomorfismos são uma consequência do método de expansão. Este trabalho ainda contém um anexo sobre o formalismo Hamiltoniano de Dirac utilizado nos capítulos 4 e 5 para o estudo da dinâmica das respectivas teorias, além de dois outros anexos contendo programas computacionais que utilizamos.

In this work we study the Chern-Simons theory for gravitation in 5 dimensions. We use as Lie algebra the algebra (a)dS5 (de Sitter or anti-de Sitter) expanded from a finite semigroup via the direct product between (a)dS5 and the semigroup considered. The motivation of using an expanded algebra is to obtain a more general theory, with the possibility of obtaining other fields beyond the field of gravitation in the theory. These other fields can be seen as a possible matter that interacts with the field of gravitation. Basically this work will be divided into three parts. In the first, which covers the chapters 2 and 3, we will briefly introduce differential forms and group theory, two essential tools for understanding a Chern-Simons theory of gravitation. In this part we will bring some recent results on algebra expansions that are fundamental to this work. We will make the expansion mentioned, showing that it is really a Lie algebra, calculating the constants of structure and the invariant tensors, and then we will make a comparison of our results with similar works in the literature. In the second part, which covers the whole of chapter 4, we will make an introduction about Chern-Simons theories, showing their importance to physics, as well as discuss some already known results on Chern-Simons gravitation in 5D using as Lie algebra (a)ds5 simply. Finally, in the last part, we will apply the results of chapter 4 considering the expanded algebra, obtaining the Chern-Simons action for such algebra. After this we will study the dynamic structure of the theory, making use of the Hamiltonian formalism of Dirac. An important result of the fourth and final chapter is the discovery of a more general class of spatial diffeorphisms, called by us of generalized diffeomorphisms, which include the usual spatial diffeomorphisms. These new diffeomorphisms are a consequence of the method of expansion adopted by us. This work also contains an annex about the Hamiltonian formalism of Dirac used in chapters 4 and 5 to study the dynamics of the respective theories, as well as two other annexes containing computational programs that we use.