Álgebras bisseriais especiais

Abstract

Álgebras bisseriais especiais formam uma classe de álgebras que aparecem em diferentes contextos. A aplicabilidade destas álgebras que estamos interessados é no estudo de representações de algumas álgebras de grupo não semissimples sobre corpos algebricamente fechados. Para isso, descrevemos, a menos de isomorfismos, seus módulos indecomponíveis e seus morfismos irredutíveis. Tal descrição é feita através de uma bela apresentação combinatória, dada por Butler e Ringel [6], dos módulos indecomponíveis e dos morfismos irredutíveis de um caso particular de álgebras bisseriais especiais, as álgebras string. No caso geral, de álgebras bisseriais especiais que não são string, mostramos que são acrescentados apenas um módulo projetivo-injetivo indecomponível para cada relação binomial. Apresentamos a sequência de Auslander-Reiten em que estes módulos aparecem e verificamos que, a menos destas sequências, o restante do quiver de Auslander-Reiten é obtido como feito por Butler e Ringel [6] para álgebras string. Para módulos string, apresentamos ainda uma descrição gráfica de uma base dos espaços de morfismos, de acordo com Crawley-Boevey [7]. Finalizamos o trabalho aplicando os resultados acima para obter as representações das álgebras de grupos cíclicos finitos e para as álgebras do grupo de Klein e dos grupos dihedrais sobre corpos algebricamente fechados de característica 2.

Special biserial algebras are a class of algebras that appear in many contexts. Butler and Ringel [6] made a description of indecomposable modules and irreducible morphisms of algebras string, a subclass of special biserial algebras. We show that special biserial algebras which are not string, have only one module projective-injective indecomposable for each binomial relation. We are present the Auslander-Reiten sequence in which these modules appear. Then we verify that the remainder of Auslander-Reiten quiver of special biserial algebras is obtained as done by Butler and Ringel [6] for string algebras. We conclude this work by applying the above results for the representations of the algebras of finite cyclic groups and algebras of the Klein group and diedral groups over algebraically closed field of characteristic 2.