Fluxos Seccional-Anosov e Grupo Fundamental

Abstract

Por fluxo Seccional-Anosov, entendemos o campo vetorial X, definido sobre uma variedade Riemanniana compacta M com bordo, de dimensão n ≥ 3, transversal a ∂M e apontando para dentro de M , tal que o fibrado tangente de M apresenta uma decomposição dominada em cada ponto do seu conjunto invariante maximal M (X), formada por um subfibrado contração e um subfibrado onde a derivada do fluxo expande área de paralelogramos definidos neste subfibrado. Mostraremos neste trabalho os seguintes resultados: Teorema (A). Seja X fluxo Seccional-Anosov de codimensão um, definido sobre uma variedade Riemanniana M compacta, conexa e possivelmente com bordo não vazio. Então, existe uma curva fechada γ transversal à folheação (singular) estável fraca W s de M . Teorema (B). Seja X um fluxo Seccional-Anosov de codimensão um com todas as singularidades de tipo Lorenz, definido sobre uma variedade Riemanniana compacta, conexa M com bordo. Então, π 1 (M ) é de ordem infinita. Seja W ss (σ) a variedade estável forte pela singularidade σ do campo X. Denotamos por K a união de todas as variedades W ss (σ) passando pelas singularidades de X. Teorema (C). Se X é um fluxo Seccional-Anosov sobre uma 3-variedade compacta M , então toda órbita periódica de X representa um elemento de ordem infinita de π 1 (M \ K). Teorema (D). Toda 3-variedade compacta M que suporta fluxo Seccional-Anosov transitivo X, satisfaz as seguintes propriedades: 1. O número de singularidades de X é igual a −χ(M ); 2. A característica de Euler, χ(·), de cada componente conexa de ∂M é não positiva. E, existe pelo menos uma componente conexa com característica de Euler negativa se e somente se X possui singularidades; 3. π 1 (M ) é infinito. Os dois últimos resultados aparecem no artigo que publicamos em Discret and Continuous Dynamical Systems, V35, N10, p. 4735-4741, em outubro de 2015.

By Sectional-Anosov flow we understand the vector field X defined on compact connected Riemannian n-manifold, n ≥ 3, inwardly transverse to ∂M ( if nonempty), exhibiting, in the maximal invariant set M (X), a dominated splitting of the tangent bundle, formed by a contracting subbundle and a subbundle where the flow’s derivative expands the area of parallelograms. In this work, we will show: Teorema (A). Let X be a sectional-Anosov flow on a compact, connected n-manifold M with boundary. Then, there is a transversal closed curve γ to the weak stable foliation W s of M . Teorema (B). Let X be a sectional-Anosov flow of codimension one with its all singularities Lorenz-like, defined on a compact, connected n-manifold M with boundary. Then, π 1 (M ) has infinite order. Denote by K the union of the leaves of strong stable foliation W ss through the singula- rities of X. Teorema (C). If X is a sectional-Anosov flow on a compact 3-manifold M , then a periodic orbit of X represents an element of infinite order of π 1 (M \K). Teorema (D). Every compact 3-manifold M supporting transitive sectional-Anosov flows X satisfies the properties below: 1. The number of singularities of X is −χ(M ); 2. Every connected component of ∂M has nonpositive Euler characteristic (and there is at least one with negative Euler characteristic if and only if X has singularities); 3. π 1 (M ) is infinite. The last two theorems appear in our article published in Discrete and Continuous Dynamical Systems, V35, N10, p. 4735-4741, in October 2015.