Methods for avoiding round-off errors on 2D and 3D geometric simplification

Abstract

In this work, we evaluated the occurrence of round-off errors on floating-point arith- metic for the problem of 2D and 3D geometric simplification. Round-off errors may lead algorithms to produce topologically inconsistent results, that is, results that fail to preserve crucial features of the original model. Some algorithms are designed to avoid such inconsistencies, however, they are usually implemented with floating- point arithmetic. Even these algorithms may fail to output topologically consistent results due to round-off errors. In order to overcome this issue, two methods were proposed: EPLSimp for polyline simplification, and UGSimp, for triangular mesh simplification. On both methods, preemptive tests are carried out to detect and pre- vent topological inconsistencies. Such tests use multiple precision rational numbers instead of floating-point numbers. The use of rational numbers does not present round-off errors. Nevertheless, it causes an increase on the execution time of the algorithms. To compensate for this performance loss, both algorithms were imple- mented using a parallel computing paradigm. As result, the methods presented do not output topologically inconsistent models. Tests have shown a considerable performance gain with parallel implementations of the proposed approaches.

Neste trabalho avaliou-se a ocorrência de erros de arredondamento decorrentes do uso de aritmética de ponto-flutuante em algoritmos de simplificação geométrica 2D e 3D. Erros de arredondamento podem fazer com que algoritmos produzam resultados topologicamente inconsistentes, isto ́e, resultados que violam alguma característica crucial do modelo original. Foram mostradas situações em que inconsistências ocorrem, mesmo em algoritmos projetados para evitá-las. Visando contornar este problema, dois métodos foram propostos: EPLSimp, para simplificação de linhas, e UGSimp para simplificação de malhas triangulares. Em ambos os métodos, testes preemptivos para verificação de inconsistência topológica foram realizados utilizando-se núumeros racionais de precisão múltipla, em vez de números de ponto-flutuante. O uso de números racionais não gera erros de arredondamento, entretanto o uso de precisão múltipla implica em um aumento no tempo de execução dos algoritmos. Para compensar esta redução de desempenho, os algoritmos foram implementados com o paradigma de computação paralela. Como resultado, temos dois métodos de simplificação isentos de erros de arredondamento por ponto- flutuante. Testes mostraram um ganho considerável no tempo de execução com as implementações paralelas.